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泊松分布(Poisson distribution)和二项分布(Binomial distribution) 区别

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发表于 2019-3-22 14:49:51 | 显示全部楼层 |阅读模式
泊松分布(Poisson distribution)

假设你在一个呼叫中心工作,一天里你大概会接到多少个电话?它可以是任何一个数字。现在,呼叫中心一天的呼叫总数可以用泊松分布来建模。这里有一些例子:

  • 医院在一天内录制的紧急电话的数量。
  • 某个地区在一天内报告的失窃的数量。
  • 在一小时内抵达沙龙的客户人数。
  • 在特定城市上报的自杀人数。
  • 书中每一页打印错误的数量。

泊松分布适用于在随机时间和空间上发生事件的情况,其中,我们只关注事件发生的次数。

当以下假设有效时,则称为“泊松分布

  • 任何一个成功的事件都不应该影响另一个成功的事件。
  • 在短时间内成功的概率必须等于在更长的间内成功的概率。
  • 时间间隔变小时,在给间隔时间内成功的概率趋向于零。

泊松分布中使用了这些符号:

  • λ是事件发生的速率
  • t是时间间隔的长
  • X是该时间间隔内的事件数。

其中,X称为泊松随机变量,X的概率分布称为泊松分布。

令μ表示长度为t的间隔中的平均事件数。那么,µ = λ*t。

泊松分布的X由下式给出:

泊松分布.GIF

泊松分布.GIF

平均值μ是该分布的参数。 μ也定义为该间隔的λ倍长度。泊松分布图如下所示:

泊松分布(Poisson distribution)

泊松分布(Poisson distribution)

下图显示了随着平均值的增加曲线的偏移情况:

泊松分布(Poisson distribution).GIF

泊松分布(Poisson distribution).GIF

可以看出,随着平均值的增加,曲线向右移动。

泊松分布中X的均值和方差:

均值 -> E(X) = µ

方差 -> Var(X) = µ

二项分布(Binomial distribution)

让我们来看看玩板球这个例子。假设你今天赢了一场比赛,这表示一个成功的事件。你再比了一场,但你输了。如果你今天赢了一场比赛,但这并不表示你明天肯定会赢。我们来分配一个随机变量X,用于表示赢得的次数。 X可能的值是多少呢?它可以是任意值,这取决于你掷硬币的次数。

只有两种可能的结果,成功和失败。因此,成功的概率 = 0.5,失败的概率可以很容易地计算得到:q = p – 1 = 0.5。

二项式分布就是只有两个可能结果的分布,比如成功或失败、得到或者丢失、赢或败,每一次尝试成功和失败的概率相等。

结果有可能不一定相等。如果在实验中成功的概率为0.2,则失败的概率可以很容易地计算得到 q = 1 - 0.2 = 0.8。

每一次尝试都是独立的,因为前一次投掷的结果不能决定或影响当前投掷的结果。只有两个可能的结果并且重复n次的实验叫做二项式。二项分布的参数是n和p,其中n是试验的总数,p是每次试验成功的概率。

在上述说明的基础上,二项式分布的属性包括:

  • 每个试验都是独立的。
  • 在试验中只有两个可能的结果:成功或失败。
  • 总共进行了n次相同的试验。
  • 所有试验成功和失败的概率是相同的。 (试验是一样的)

二项分布的数学表示由下式给出:

二项分布(Binomial distribution)

二项分布(Binomial distribution)

成功概率不等于失败概率的二项分布图:

成功概率不等于失败概率的二项分布图

成功概率不等于失败概率的二项分布图

现在,当成功的概率 = 失败的概率时,二项分布图如下:

当成功的概率 = 失败的概率时,二项分布图

当成功的概率 = 失败的概率时,二项分布图

二项分布的均值和方差由下式给出:

平均值 -> µ = n*p

方差 -> Var(X) = n*p*q

泊松分布(Poisson distribution)和二项分布(Binomial distribution)的关系和区别

泊松分布在满足以下条件的情况下是二项式分布的极限情况:

1. 试验次数无限大或n → ∞。

2. 每个试验成功的概率是相同的,无限小的,或p → 0。

3. np = λ,是有限的。

正态分布和泊松分布、二项分布的关系及区别
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