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正态分布(normal distribution)的前世今生和意义,Moivre和高斯(Gauss)
| 正态分布(normal distribution)是一个在数学、物理及工程等领域都非常重要的概率分布。最早由Abraham de Moivre(1667 - 1754)在求二项分布的渐近公式中得到，C.F.高斯(Johann Carl Friedrich Gauss, 1777 - 1855)在研究测量误差时从另一个角度导出了它。P.S.拉普拉斯(Pierre-Simon Laplace,1749－1827)和高斯研究了它的性质。
若随机变量X服从一个数学期望为μ、方差为σ^2的正态分布，记为N(μ，σ^2)。其概率密度函数为正态分布的期望值μ决定了其位置，其标准差σ决定了分布的幅度。当μ = 0,σ = 1时的正态分布是标准正态分布。 |
正态分布(normal distribution)概念虽然是由法国的数学家Abraham de Moivre于1733年首次提出的，但由于德国数学家C.F.高斯(Johann Carl Friedrich Gauss, 1777 - 1855)率先将其应用于天文学家研究，故正态分布又叫高斯分布(Gaussian distribution)，高斯这项工作对后世的影响极大，他使正态分布同时有了“高斯分布”的名称，后世之所以多将最小二乘法的发明权归之于他，也是出于这一工作。高斯是一个伟大的数学家，重要的贡献不胜枚举。曾经德国的钢镚和10马克印有高斯头像，其上还印有正态分布的密度曲线。这传达了一种想法：在高斯的一切科学贡献中，其对人类文明影响最大者，就是正态分布(normal distribution)。
在高斯刚作出这个发现之初，也许人们还只能从其理论的简化上来评价其优越性，其全部影响还不能充分看出来。这要到20世纪正态小样本理论充分发展起来以后。拉普拉斯很快得知高斯的工作，并马上将其与他发现的中心极限定理联系起来，为此，他在即将发表的一篇文章(发表于1810年)上加上了一点补充，指出如若误差可看成许多量的叠加，根据他的中心极限定理，误差理应有高斯分布。历史上第一次提到所谓“元误差学说”——误差是由大量的、由种种原因产生的元误差叠加而成。
1837年，海根(G.Hagen)在一篇论文中正式提出了上面这个误差学说。其实，他提出的形式有相当大的局限性：海根把误差设想成个数很多的、独立同分布的“元误差” 之和，每只取两值，其概率都是1/2，由此出发，按狄莫佛的中心极限定理，立即就得出误差(近似地)服从正态分布。拉普拉斯所指出的这一点有重大的意义，在于他给误差的正态理论一个更自然合理、更令人信服的解释。因为，高斯的说法有一点循环论证的气味：由于算术平均是优良的，推出误差必须服从正态分布；反过来，由后一结论又推出算术平均及最小二乘估计的优良性，故必须认定这二者之一(算术平均的优良性，误差的正态性) 为出发点。但算术平均到底并没有自行成立的理由，以它作为理论中一个预设的出发点，终觉有其不足之处。拉普拉斯的理论把这断裂的一环连接起来，使之成为一个和谐的整体，实有着极重大的意义。
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